请用 CFA 考试视角解释 Duration、Modified Duration 和 Convexity。

在 CFA 考试的固定收益证券分析框架下，久期（Duration）、修正久期（Modified Duration）和凸性（Convexity） 是衡量利率风险的核心工具，分别从不同维度描述债券价格对利率变动的敏感性。以下是具体解释：

1. 久期（Duration）：一阶利率敏感性的线性近似

久期是对债券价格变动与市场利率变动之间关系的一阶近似度量，通常指麦考利久期（Macaulay Duration），以年为单位。其核心逻辑是：当市场利率发生 1% 的平行变动（即所有期限的利率同比例变动）时，债券价格的近似变动百分比。

计算逻辑：

久期是各期现金流现值的加权平均到期时间，权重为各期现金流现值占总现值的比例。公式为：

$$\text{麦考利久期} = \frac{\sum_{t=1}^n t \cdot \frac{C_t}{(1+y)^t}}{\sum_{t=1}^n \frac{C_t}{(1+y)^t}}$$

其中，$C_t$ 为第 $t$ 期的票息（到期日为 $n$ 期），$y$ 为每期到期收益率。

特点：

• 久期的单位是“年”，反映利率变动 1% 时价格的百分比变动（近似）。
• 对于零息债券，久期等于其到期时间；对于附息债券，久期小于到期时间（因票息提前收回本金，平均期限缩短）。

2. 修正久期（Modified Duration）：调整票息影响的利率敏感性

修正久期是对麦考利久期的修正版本，用于更准确地衡量利率变动对债券价格的影响，尤其适用于存在票息的债券（零息债券的修正久期等于麦考利久期）。

计算逻辑：

修正久期考虑了票息再投资收益对久期的影响，公式为：

$$\text{修正久期} = \frac{\text{麦考利久期}}{1 + y}$$

或直接表示为：

$$\text{修正久期} = \frac{\sum_{t=1}^n t \cdot \frac{C_t}{(1+y)^t}}{\sum_{t=1}^n \frac{C_t}{(1+y)^t} \cdot (1+y)}$$

特点：

• 修正久期是无单位的（反映百分比变动），本质是“利率每变动 1 个基点（0.01%）时，债券价格的近似变动百分比”（需将结果乘以 10,000 转换为基点）。
• 当债券为纯零息债券时，$C_t=0$（除到期日），修正久期等于麦考利久期，即 $D_{\text{mod}} = D_{\text{Mac}}$。

3. 凸性（Convexity）：二阶利率敏感性的非线性修正

凸性是对久期线性近似误差的修正，通过二阶导数描述债券价格-收益率曲线的弯曲程度，反映利率变动对久期的动态影响（久期本身是利率变动的“一阶导数”，凸性是“二阶导数”）。

计算逻辑：

凸性衡量的是当利率变动较大时，债券价格变动的非线性特征（即久期的近似误差）。公式为：

$$\text{凸性} = \frac{\sum_{t=1}^n t(t+1) \cdot \frac{C_t}{(1+y)^t}}{\sum_{t=1}^n t \cdot \frac{C_t}{(1+y)^t} \cdot (1+y)}$$

或简化为：

$$\text{凸性} = \text{修正久期} \cdot \left(1 + y + \frac{(1+y)^2 \cdot \text{久期}^2}{\text{修正久期}^2}\right)$$

（近似关系）

特点：

• 凸性总是非负的，且对于正息债券，凸性大于修正久期（因价格-收益率曲线向上弯曲）。
• 当利率变动较小时（如 1% 以内），久期的线性近似足够准确；但利率大幅变动时（如超过 2%），凸性需被纳入计算以提高预测精度。

三者的联系与应用

• 久期是一阶近似，适用于小幅度利率变动；修正久期调整了票息影响，更贴近实际；凸性则修正了久期的线性误差，适用于大幅度利率变动。
• 在投资组合管理中，三者共同用于利率风险管理（如久期免疫、凸性匹配）、债券估值（多期限现金流定价）及策略优化（如利用凸性套利）。

提示：CFA 考试中需严格区分麦考利久期与修正久期的计算场景（如零息 vs 附息债券），并理解凸性对久期近似的补充作用。具体公式推导和应用案例需结合题目条件灵活运用。