请帮我解释 Duration、Modified Duration 和 Convexity 的区别。

Duration（久期）、Modified Duration（修正久期）和Convexity（凸性）是衡量债券价格对利率变动敏感性的核心指标，三者从不同维度描述利率风险，具体区别如下：

1. Duration（久期）：一阶利率敏感度

定义：久期是对债券价格变动与利率变动之间线性关系的近似度量，通常指麦考利久期（Macaulay Duration），表示债券各期现金流现值的加权平均到期时间（权重为各期现金流现值占总现值的比例）。
公式：

$$\text{麦考利久期} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot \frac{C_t}{(1+y)^t} + n \cdot \frac{M}{(1+y)^n}}{\sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1+y)^t} + \frac{M}{(1+y)^n}}$$

其中，$C_t$为第$t$期票息，$M$为面值，$y$为到期收益率，$n$为剩余期限。
经济意义：久期的单位是“年”，表示利率每变动1%，债券价格约变动-久期%（负相关）。例如，5年期债券久期为5，则利率上升1%，价格约下跌5%。

2. Modified Duration（修正久期）：调整后的利率敏感度

定义：由于麦考利久期的计算隐含了票面利率的影响（尤其是零息债券），修正久期直接反映利率百分比变动1%时债券价格的近似变动幅度，消除了票面利率对久期的干扰。
公式：

$$\text{修正久期} = \frac{\text{麦考利久期}}{1 + \frac{y}{m}}$$

其中，$m$为每年付息次数（如半年付息则$m=2$）。
经济意义：修正久期是无量纲指标，直接表示利率每变动1%，债券价格变动约-修正久期%。例如，若修正久期为5.2，则利率上升1%，价格约下跌5.2%。相比久期，修正久期更适用于不同票面利率债券的横向比较。

3. Convexity（凸性）：非线性敏感度补充

定义：凸性衡量债券价格对利率变动的非线性关系（即“价格-收益率曲线”的下凸性）。由于实际中利率与价格的关系并非严格线性（尤其当利率大幅变动时），久期的线性近似会产生误差，凸性通过二阶导数或近似公式修正这一误差。
公式（近似）：

$$\text{凸性} \approx \frac{\text{价格对收益率的一阶导数} + \text{价格对收益率的二阶导数} \cdot \Delta y}{2}$$

或简化为：

$$\Delta P \approx -D \cdot \Delta y + \frac{C}{2} \cdot (\Delta y)^2$$

（其中$D$为修正久期，$C$为久期对应的现金流现值）
经济意义：凸性为正（债券价格-收益率曲线下凸），表示当利率上升时，债券价格的下跌幅度小于久期估计值；利率下降时，价格上涨幅度大于久期估计值。例如，高凸性债券在利率大幅上升时，价格跌幅比久期预测的更小（因曲线更陡峭）。

总结对比

指标	衡量维度	经济意义	适用场景
Duration	一阶线性敏感度	利率变动1%时，价格近似变动-久期%	小幅度利率变动的近似估计
Modified D	一阶敏感度修正	利率变动1%时，价格近似变动-修正久期%	小幅度变动的精确估计
Convexity	二阶非线性敏感度	利率大幅变动时，修正久期的误差	大幅度利率变动的精确定价

提示：三者共同构成债券利率风险分析的基础工具。久期和修正久期适用于小幅度利率变动的近似，而凸性用于补充非线性误差，尤其在利率剧烈波动或需要高精度定价时（如衍生品定价）需同时考虑。