请帮我解释 Duration、Modified Duration 和 Convexity 的区别。

Duration（久期）、Modified Duration（修正久期）和Convexity（凸性）是衡量债券价格对利率变动敏感性的核心指标，三者从不同维度描述利率风险，具体区别如下：

1. 久期（Duration）：线性近似下的利率敏感性度量

久期通常指麦考利久期（Macaulay Duration），是对债券现金流（利息+本金）的加权平均到期时间，权重为各期现金流现值占债券总现值的比例。

• 核心逻辑：假设利率变动是线性的（即利率上升1%，债券价格下降1%），久期表示“每1单位利率变动对应的债券价格变动时间”。
• 公式：

$$D = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot C_t \cdot (1+y)^{-t}}{P}$$

其中，$C_t$为第$t$期利息（到期日为$n$），$y$为每期到期收益率，$P$为债券当前价格。

• 特点：久期是线性近似工具，适用于利率变动较小的场景（如±1%以内）。

2. 修正久期（Modified Duration）：直接反映利率变动1%的价格变动

修正久期是对久期的调整，消除了票面利率对久期的影响，直接反映“利率每变动1%时，债券价格的近似变动百分比”。

• 核心逻辑：在久期基础上，考虑了债券收益率曲线的非水平性（即不同期限债券的利率敏感性不同），公式为久期除以（1+每期收益率）。
• 公式：

$$D_{\text{mod}} = \frac{D}{1+y} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot C_t \cdot (1+y)^{-t}}{P \cdot (1+y)}$$

• 特点：修正久期的单位是“价格变动百分比/利率变动1%”，更直观描述利率风险的大小（如$D_{\text{mod}}=5$表示利率上升1%，价格约下跌5%）。

3. 凸性（Convexity）：非线性风险的补充指标

凸性是对久期线性近似的修正，衡量债券价格与收益率之间的非线性关系（即利率大幅变动时，久期的近似效果会失效）。

• 核心逻辑：由于债券价格-收益率曲线是向下凸的（凸函数），当利率上升时，价格下跌幅度大于久期预测；利率下降时，价格上涨幅度也大于久期预测。凸性越大，这种非线性越明显。
• 公式（简化版）：

$$\text{Convexity} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t(t+1) \cdot C_t \cdot (1+y)^{-t}}{P \cdot (1+y)^2}$$

或通过二阶导数近似计算（反映价格对收益率的二阶敏感度）。

• 特点：凸性用于补充久期的不足，尤其在利率变动较大（如超过±2%）时，需结合久期和凸性更准确预测价格变动。

总结对比

指标	核心作用	线性/非线性	单位	适用场景
久期（Duration）	衡量利率变动1%对应的时间加权	线性	时间（年）	小幅度利率变动（±1%内）
修正久期	直接反映利率1%的价格变动	线性	价格变动百分比/1%	中小幅度利率变动
凸性（Convexity）	衡量价格-收益率的非线性	非线性	无（二阶敏感度）	大幅度利率变动（±2%+）

提示：考试中若涉及具体计算或特殊债券（如零息债、永续债），需结合公式灵活应用；实际投资中，久期和修正久期用于快速估算，凸性用于精细化风险评估。