请帮我解释 Duration、Modified Duration 和 Convexity 的区别。

Duration（久期）、Modified Duration（修正久期）和Convexity（凸性）是衡量债券利率风险的核心指标，三者从不同维度描述债券价格对利率变动的敏感性，具体区别如下：

1. Duration（久期）：一阶线性近似

定义：久期是债券未来现金流（利息和本金）的现值加权平均到期时间，权重为各期现金流现值占债券总现值的比例。
本质：衡量利率变动对债券价格的线性影响（一阶导数关系）。
公式（近似）：

$$D = \frac{\sum_{t=1}^n \frac{t \cdot C_t}{(1+y)^t}}{\sum_{t=1}^n \frac{C_t}{(1+y)^t}} + \frac{n \cdot F}{(1+y)^n}$$

其中，$y$ 为到期收益率（YTM），$C_t$ 为每期利息，$F$ 为面值，$n$ 为剩余期限。
作用：久期越大，债券价格对利率变动越敏感（利率上升1%，债券价格约下跌久期×1%）。

2. Modified Duration（修正久期）：调整久期的线性误差

定义：由于久期的计算基于YTM（假设利息再投资收益率等于YTM），但实际中利息再投资可能受市场利率波动影响，因此修正久期通过调整久期公式，更准确反映利率变动对价格的影响。
本质：久期的“修正版”，修正了利息再投资假设的误差，仍衡量线性风险，但更贴近实际。
公式：

$$MD = \frac{D}{1 + y}$$

（若每年付息1次；若付息$m$次，则 $MD = \frac{D}{1 + y/m}$）
作用：修正久期直接表示“利率变动1%时，债券价格的近似变动比例”（如MD=5%意味着利率上升1%，价格下跌约5%）。

3. Convexity（凸性）：二阶非线性修正

定义：凸性衡量债券价格对利率变动的非线性关系（二阶导数），反映久期近似的误差。
本质：描述价格随利率变动的“弯曲程度”——利率下降时，价格上涨幅度超过久期预测；利率上升时，价格下跌幅度小于久期预测。
公式（近似）：

$$C = D + \frac{D(D-1)}{2} \cdot \left( \frac{1}{1+y} \right)^2$$

或通过价格对收益率的二阶导数计算：

$$C = \frac{1}{2} \cdot \frac{d^2P}{dy^2} \cdot \Delta y^2$$

作用：凸性总是正的，且与久期同方向变动（久期大的债券凸性通常更大）。在利率大幅变动时，需用凸性修正久期的预测误差。

总结对比

指标	衡量维度	核心意义	公式关键特征	实际应用场景
Duration	一阶线性影响	利率变动1%时价格的近似变动	现金流现值的加权平均到期时间	小幅度利率变动的风险估计
Modified Duration	修正线性误差	更准确的利率变动影响	久期/(1+YTM)	实际利率风险的一阶近似
Convexity	二阶非线性修正	久期近似的误差补偿	价格对收益率的二阶导数	大幅度利率变动的风险修正

提示：实际应用中，久期和修正久期用于线性近似分析，凸性用于补充小幅度利率变动的误差；三者共同构成债券利率风险的完整描述框架。考试中需注意区分“线性”与“非线性”的核心差异。